减法竖式借位点是谁发明的（借位减法竖式借位时用点还是用1）

admin 发明家 2023-03-27 26 0 减法竖式借位点是谁发明的

今天给各位分享减法竖式借位点是谁发明的的知识，其中也会对借位减法竖式借位时用点还是用1进行解释，如果未能解决您的问答，可在评论区留言！

文章目录：

1、数学中的竖式是谁发明的哪个数学家
2、谈谈竖式教学——《小学数学这样教》读书笔记7
3、借位点是什么意思？

数学中的竖式是谁发明的哪个数学家

竖式的沿革没有典籍记载我国古代数学以计算为主,取得了十分辉煌的成就.其中十进位值制记数法、筹算和珠算在数学发展中所起的作用和显示出来的优越性,在世界数学史上也是值得称道的. 十进位值制记数法曾经被马克思（1818—1883）称为“最妙的发明之一”①. 从有文字记载开始,我国的记数法就遵循十进制.殷代的甲骨文和西周的钟鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等字的合文来记十万以内的自然数的.例如二千六百五十六写作■■■■（甲骨文）,六百五十九写作■■■■■（钟鼎文）.这种记数法含有明显的位值制意义,实际上,只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字样取消,便和位值制记数法基本一样了. 春秋战国时期是我国从奴隶制转变到封建制的时期,生产的迅速发展和科学技术的进步提出了大量比较复杂的数字计算问题.为了适应这种需要,劳动人民创造了一种十分重要的计算方法——筹算.我们认为筹算是完成于春秋战国时期,理由是：第一,春秋战国时期,农业、商业和天文历法方面有了飞跃的发展,在这些领域中,出现了大量比以前复杂得多的计算问题.由于井田制的废除,各种形状的私田相继出现,并相应实行按亩收税的制度,这就需要计算复杂形状的土地面积和产量；商业贸易的增加和货币的广泛使用,提出了大量比例换算的问题；适应当时农业需要的厉法,要计算多位数的乘法和除法.为了解决这些复杂的计算问题,才创造出计算工具算筹和计算方法筹算.第二,现有的文献和文物也证明筹算出现在春秋战国时期.例如“算”和“筹”二字出现在春秋战国时期的著作（如《仪礼》、《孙子》、《老子》、《法经》、《管子》、《荀子》等）中,甲骨文和钟鼎文中到现在仍没有见到这两个字.一二三以外的筹算数字最早出现在战国时期的货币（刀、布）上.《老子》提到：“善计者不用筹策”,可见这时筹算已经比较普遍了.因此我们说筹算是完成于春秋战国时期.这并不否认在春秋战国时期以前就有简单的算筹记数和简单的四则运算. 关于算筹形状和大小,最早见于《汉书·律历志》.根据记载,算筹是直径一分（合○·二三厘米）、长六寸（合一三·八六厘米）的圆形竹棍,以二百七十一根为一“握”.南北朝时期公元六世纪《数术记遗》和《隋书·律历志》记载的算筹,长度缩短,并且把圆的改成方的或扁的.这种改变是容易理解的：长度缩短是为了缩小布算所占的面积,以适应更加复杂的计算；圆的改成方的或扁的是为了避免圆形算筹容易滚动而造成错误.根据文献的记载,算筹除竹筹外,还有木筹、铁筹、玉筹和牙筹,还有盛装算筹的算袋和算子筒.唐代曾经规定,文武官员必须携带算袋.1971年八月中旬,在陕西宝鸡市千阳县第一次发现西汉宣帝时期（公元前73年到前49年）的骨制算筹三十多根,大小长短和《汉书·律历志》的记载基本相同.1975年上半年在湖北江陵凤凰山一六八号汉墓又发现西汉文帝时期（公元前179年到前157年）的竹制算筹一束,长度比千阳县发现的算筹稍大一点.1980年九月,在石家庄市又发现东汉初期（公元一世纪）的骨制算筹约三十根,长度和形状同《隋书·律历志》的记载相近,这说明算筹长度和形状的改变早在东汉初期已经开始.算筹的出土,为研究我国数学发展史提供了可贵的实物资料. 从而进行加、减、乘、除、开方以及其他的代数计算. 筹算一出现,就严格遵循十进位值制记数法.九以上的数就进一位,同一个数字放在百位就是几百,放在万位就是几万.这种记数法,除所用的数字和现今通用的印度-阿拉伯数字形式不同外,和现在的记数法实质是一样的.筹算是把算筹一面摆成数字,一面进行计算,它的运算程序和现今珠算的运算程序基本相似.记述筹算记数法和运算法则的著作有《孙子算经》（公元四世纪）、《夏侯阳算经》（公元五世纪）和《数术记遗》（公元六世纪）.负数出现后,算筹分成红黑两种,红筹表示正数,黑筹表示负数.算筹还可以表示各种代数式,进行各种代数运算,方法和现今的分离系数法相似.我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就,和筹算有密切的关系.例如祖冲之的圆周率准确到小数第六位,需要计算正一万二千二百八十八边形的边长,把一个九位数进行二十二次开平方（加、减、乘、除步骤除外）,如果没有十进位值制的计算方法,那就会困难得多了. 古巴比仑的记数法虽然有位值制的意义,但是它是六十进的,计算比较繁琐.古埃及的数字从一到十只有两个数字符号,从一百到一千万有四个数字符号,而且是象形的,例如用一个鸟表示十万.文化比较发达的古希腊,由于看重几何,轻视计算,记数方法十分落后,用全部希腊字母表示一到一民创造的,但是印度在公元三世纪以前使用的记数法是希腊式和罗马式两种,都不是位值制,真正使用十进位值制记数法出现在公元六世纪末.由此可见,我国古代的十进位值制记数法和筹算,在世界数学史上应该占有重要的地位. 筹算在我国古代用了大约两千年,在生产和科学技术以至人民生活中,发挥了重大的作用.但是它的缺点也是十分明显的：首先,在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便；其次,计算数字的位数越多,所需要的面积越大,受环境和条件的限制；此外,当计算速度加快的时候,很容易由于算筹摆弄不正而造成错误.随着社会的发展,计算技术要求越来越高,筹算需要改革,这是势在必行的.这个改革从中唐以后的商业实用算术开始,经宋元出现大量的计算歌诀,到元末明初珠算的普遍应用,历时七百多年.《新唐书》和《宋史·艺文志》记载了这个时期出现的大量著作.由于封建统治阶级对民间数学十分轻视,以致这些著作的绝大部分已经失传.从遗留下来的著作中可以看出,筹算的改革是从筹算的简化开始而不是从工具改革开始的,这个改革最后导致珠算的出现. 珠算是由筹算演变而来的,这是十分清楚的.筹算数字中,上面一根筹当五,下面一根筹当一,珠算盘中的上一珠也是当五,下一珠也是当一；由于筹算在乘、除法中出现某位数字等于十或多于十的情形（例如26532÷8, 采用上二珠下五珠的形式.其次,我们可以证明,从杨辉、朱世杰开始到元末丁巨、何平子、贾亨止的除“起一”法外的全部现今通用的珠算歌诀,是为筹算而设的.杨辉的《乘除通变本末》（公元1274年）和朱世杰的《算学启蒙》（公元1299年）已经有相当完备的歌诀,但是杨辉在《乘除通变本末》中说：“下算不出‘横’‘直’”,其中“横”“直”显然是指算筹的纵横排列；朱世杰在《算学启蒙》中提到“知算纵横数目真”,也是这个意思.《丁巨算法》（公元1355年）、何平子的《详明算法》（公元1373年）、贾亨的《算法全能》（约公元1373年）也有相当完备的归除歌诀,但是都没有提到珠算,而《详明算法》还有许多筹算算草.歌诀出现后,筹算原来存在的缺点就更突出了,歌诀的快捷和摆弄算筹的迟缓存在矛盾.为了得心应手,劳动人民便创造出更加先进的计算工具——珠算盘. 现存文献中最早提到珠算盘的是明初的《对相四言》.明代中期公元十五世纪中叶《鲁班木经》中有制造珠算盘的规格：“算盘式：一尺二寸长,四寸二分大.框六分厚,九分大,……线上二子,一寸一分；线下五子,三寸一分.长短大小,看子而做.”把上二子和下五子隔开的不是木制的横梁,而是一条线.比较详细地说明珠算用法的现存著作有徐心鲁的《盘珠算法》（公元1573年）、柯尚迁的《数学通轨》（公元1578年）、朱载堉（1536—1611）的《算学新说》（公元1584年）、程大位的《直指算法统宗》（公元1592年）等,以程大位的著作流传最广. 值得指出的是,在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到珠算的.例如元世祖至元十六年（公元1279年）刘因在他的《静修先生文集》中有一首关于算盘的五言绝诗；陶宗仪在他的《辍耕录》中把婢仆贬作算盘珠,要拨才动；《元曲选》“庞居士误放来生债”提到“去那算盘里拨了我的岁数”,等等.文学、戏剧中用算盘珠作比喻,说明珠算盘已经比较流行,也说明它是比较时新的东西.因此可以认为,珠算出现在元代中叶,元末明初已经普遍应用了. 有的外国学者认为我国的珠算出现在汉代,他们的根据是汉徐岳著、北周甄鸾注的《数术记遗》已经明确提到珠算.我国数学家、数学史家钱宝琮（1892—1974）曾经考证过,《数术记遗》是甄鸾依托伪造而自己注释的书.在北周时,乘、除运算都在上、中、下三层进行,又没有简化乘、除法的歌诀,因此甄鸾注释的珠算,充其量不过是一种记数工具或者只能作加减法的简单算盘,和后来出现的珠算是完全不同的. 珠算还传到朝鲜、日本等国,对这些国家的计算技术的发展曾经起过一定的作用.日本人在十七世纪中叶,在中国算盘的基础上,改成梁上一珠、珠作棱形的日本算盘

谈谈竖式教学——《小学数学这样教》读书笔记7

谈谈竖式教学

——《小学数学这样教》读书笔记7

计算教学历来是小学数学教学的重点，计算方式有口算，估算与笔算。竖式是笔算的工具，属于人发明的知识，其作用是减轻计算过程中的思维负担，辅助记录部分思维过程。

现实教学中，孩子对现有的程序性、简洁性的竖式有比较多的疑惑，如果教师在教学的时候没有注意到孩子的疑惑，则竖式教学很可能会变成重复性的强记技能训练。用时下流行的话就是，孩子可能只掌握了算法，但是没有理解算理。

为了突破算理，教材编排上会借助小棒，点子图等利用数形结合的方式来展开教学。但是，教学实证表明，现在通用的教材上的竖式从孩子思维理解这点来说并非是最自然的，竖式书写的简约和工整隐藏了孩子应有的思考过程。

现在，整数范围内的加、减、乘的竖式计算有两个基本要求：第一是相同数位对齐，第二是从个位算起。（也就导致了计算要先写右边，再写左边。）但是，由于我们写字的习惯是从左往右。因此，在最初的竖式教学中，多数孩子不喜欢列竖式来计算。往往是在口算出结果后，再把得数写在竖式中去。进而也可以说明，为何有的孩子计算正确，但是竖式却没有进位点，与退位点辅助记录符号的情形。

教材按照从易到难的逻辑安排，先是不进位加，再进位（减法则是先不退位减，再退位减）。在不进位，不退位的竖式计算的时候，孩子习惯也喜欢从左往右算，也能做对。但是，这种习惯但又能获得正确的结果为以后的进位加，退位减制造了一定的思维障碍（部分孩子在最开始的时候，总是会忘了进位或者退位而导致计算错误）。当然，这些障碍导致的错误在老师要求孩子不断的练习竖式计算中会慢慢的得到解决，最终让孩子获得竖式计算的能力。（就算是没有明白算理。算法还是能掌握的）

其实，从历史的视角看，计算的过程与方法是多种多样的，当下我们所学的标准方法（列竖式）是人们长期以来约定俗成，认为书写最简洁、工整的方法是无数种计算方法经过演变并筛选出来的。因此，在教学这一块知识的时候，需要适当回眸历史，审视历史发张进程中的多种计算方法，一来可以让孩子感受多样化的算法，二来可以让隐藏在算法背后的想法显现出来，寻找对学生的学习最自然的方法。在顺应了孩子最自然的方法后，让孩子经历竖式简化的过程，最终明白现有竖式的优势，让冰冷的美丽重现当初火热的思索。下面让我们经历竖式的历史发展过程：

1.加减法竖式

我们可以发现，加法算式既可以从左往右算，也可以从右往左算。可以发现，上图的竖式与现在不同的是，每一位上的各个数字相加后的总和要全部写出来，并且另占一行。好处在于把现在所说的“进位数字”全部写出来，避免了对“进位数字”的记忆，但是，数学格式冗长，写法没有现在的竖式简洁。

古代印度的加法竖式出现了一个“进位行”，起到了帮助记忆计算过程的作用，而且在计算过程中不需要根据进位而改变现有的数据。同时，可以随个人喜好来决定是 “从左往右算”还是“从右往左算”，很好的避免个体书写习惯的障碍。

古代印度的减法竖式，可以发现011011这一行是“借位行”，最后的结果是384689-011011=274579。也可以随个人喜好来决定是 “从左往右算”还是“从右往左算”。

现在的竖式就是在古代印度竖式的基础上去掉了“进位行”与“借位行”，同时要求孩子要用符号帮助记录进位或者退位，且要按照从个位算起的原则。（简洁性的后面，伴随着记忆性的增加，这也就成了当下我们竖式计算教学中的重点——突破算理，掌握算法。）

2.乘法竖式

这个过程是从高位算起的，而且每算一步，计算结果都另起一行，避免了计算过程中的进位。由此可以看出，所谓“从个位算起”并不是唯一确定、且不能违背。现在要求从个位算起，是简洁性与规定的统一。

3.除法竖式

（1）由乘法竖式演变而来的除法竖式

先写64，横线上写8，由于8比64中的6大，因此退一位写在4的上面。因为8乘8正好等于64，因此，在8的上面写了一个8，与8的乘积为64，正好没有余数。

上图是比较复杂的除法竖式，如果把45的位置做下调整，就成了现在的除法竖式。

（2）现在德国的除法竖式如下图：

图6-12的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍,而后从被除数高位看,发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202,这时就将2115写在2202下做减法,同时将“5”记录在右侧。减得的结果是878,在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878,所以重复前面的过程,将846写在878下面做减法,将2记录在右侧5的旁边。以下类推。

这个过程直到减法结果为0,说明数22028148中包含了52076个除数423,也就是这个除法的结果是52076。这个除法竖式与现在数学课程中的除法竖式并没有本质的差别,只不过现在的写法中罗列除数的倍数这个过程省略了,将商写在了被除数的上方。

（3）逐渐演变成现在的标准除法竖式

由此可以看出，现在的竖式具有简洁性与工整性，但是也隐藏了部分孩子原生态的思维。教学的时候，建议让孩子经历竖式历史发展的过程，让孩子的思维逐阶而上……